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<!DOCTYPE html>

<title>Funktor (Logik)</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Funktor (Logik)</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>In der <a href="Logik" title="Logik">Logik</a> wird unter einem <b>Funktor</b> gewöhnlich ein <a href="Operator_(Mathematik)" title="Operator (Mathematik)">Operator</a> verstanden, der – je nach Stelligkeit – auf einen oder mehrere singuläre Terme (<a href="Variable_(Logik)" title="Variable (Logik)">Variable</a>, <a href="Nominator_(Logik)" title="Nominator (Logik)">Nominatoren</a> oder funktorielle Terme) angewendet wird und wiederum einen singulären Term erzeugt. Beispielsweise wird "der Vater von …" üblicherweise als einstelliger Funktor, das arithmetische Symbol "+" als zweistelliger Funktor aufgefasst. "Der Wasserstand von … am … in …" wäre ein Beispiel für einen dreistelligen Funktor (Einsetzungen für die durch Auslassungspunkte markierten "Stellen" könnten sein: "Rhein", "20.08.07", "Bingen").

</p><p>Dass hier eine Deutung als Funktor (oder alternativ als <a href="Kennzeichnung_(Logik)" title="Kennzeichnung (Logik)">Kennzeichnung</a>) nahe liegt, geht daraus hervor, dass ein Gebilde wie "der Vater von Hans" sich auf genau einen Gegenstand bezieht und wie ein Nominator eine Stelle eines <a href="Pr%C3%A4dikator" title="Prädikator">Prädikators</a> besetzen kann; zum Beispiel "Der Vater von Hans ist identisch mit Franz", "2+2 = 4". Oft werden Funktoren durch Kleinbuchstaben symbolisiert, um sie leichter von Prädikatoren unterscheiden zu können: "der-vater-von(x)" oder "v(x)" im Unterschied zu "Ist-Vater-von(x,y)" oder "V(x,y)" bzw. "xVy". Aufgrund der rekursiven Struktur von Standardsprachen ist auch "der-vater-von(der-vater-von(a))" ein zulässiger Ausdruck.

</p><p>Präziser: Durch Anwendung eines n-stelligen Funktors φ(…) auf n Terme θ<sub>1</sub> bis θ<sub>n</sub> entsteht ein funktorieller Term.

Sind θ<sub>1</sub> bis θ<sub>n</sub> sämtlich geschlossen (variablenfrei), so ist auch φ(θ<sub>1</sub>,…,θ<sub>n</sub>) geschlossen.

Für jeden Term θ<sub>i</sub> in φ(θ<sub>1</sub>,…,θ<sub>n</sub>) gilt: Ist θ<sub>i</sub> in einer Variablen ξ offen, so ist auch φ(θ<sub>1</sub>,…,θ<sub>n</sub>) in ξ offen.

</p><p>Das obige Vater-Beispiel macht deutlich, dass sich n-stellige Funktoren im Rückgriff auf n+1-stellige Prädikatoren definieren lassen, nach dem Schema:<br>

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \xi \forall \omega \ (\varphi (\xi )=\omega \leftrightarrow \Phi (\xi ,\omega ))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/841435643c85e7869bedb3816c490ced2af752eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.966ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \xi \forall \omega \ (\varphi (\xi )=\omega \leftrightarrow \Phi (\xi ,\omega ))}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Auch <a href="Kennzeichnung_(Logik)" title="Kennzeichnung (Logik)">Kennzeichnungsterme</a> eignen sich zur definitorischen Einführung von Funktoren:<br>

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \forall \xi \ (\varphi (\xi )=\imath \omega \ \Phi (\xi ,\omega ))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97e28d32d2068cad13d5c06825373ebc35ed5f8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.987ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \forall \xi \ (\varphi (\xi )=\imath \omega \ \Phi (\xi ,\omega ))}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Bei der Einführung eines Funktors muss garantiert sein, dass sich der entstehende funktorielle Term auf genau ein Objekt bezieht.

</p><p><b>Das Wort "Funktor"</b> wurde von dem deutschen Philosophen <a href="Rudolf_Carnap" title="Rudolf Carnap">Rudolf Carnap</a> (1891–1970) in seinem Buch <i>Logische Syntax der Sprache</i><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (1934) geprägt und wurde zum Teil auch in einem weiteren Sinn als dem oben beschriebenen gebraucht, der auch Prädikatoren umfasste. In <i>Introduction to Symbolic Logic and its Applications</i><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> (1958) definierte er einen n-stelligen Funktor als "any sign whose full expressions (involving n arguments) are not sentences". Damit sind Prädikatoren keine Funktoren, was der heute üblichen Verwendung entspricht.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einteilungen">Einteilungen</h2></div>

<p>Die Funktoren werden nach unterschiedlichen Gesichtspunkten eingeteilt:

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Funktor_1._Stufe_–_Funktor_2._Stufe"><span id="Funktor_1._Stufe_.E2.80.93_Funktor_2._Stufe"></span>Funktor 1. Stufe – Funktor 2. Stufe</h3></div>

<p>Funktoren 1. Stufe sind Funktoren, die durch Ergänzung einen vollständigen Ausdruck oder Satz bilden.

</p><p>Beispiel: {die Hauptstadt von} wird durch Ergänzung mit "Deutschland" zum Ausdruck "die Hauptstadt von Deutschland".

</p><p>{läuft} wird durch Ergänzung mit "Hans" zu dem Satz "Hans läuft."

</p><p>Funktoren 2. Stufe sind vor allem die <a href="Quantor" title="Quantor">Quantoren</a>, die vollständige Ausdrücke oder Sätze durch das Einsetzen von Funktoren 1. Stufe bilden.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einteilung_nach_der_syntaktischen_Kategorie_der_Argumente">Einteilung nach der syntaktischen Kategorie der Argumente</h3></div>

<p>Nach der syntaktischen Kategorie ihrer Argumente werden Funktoren eingeteilt in:

</p><p>(1) „namenbestimmende Funktoren“ (z. B. „läuft“; „ist kleiner als“)

</p><p>(2) „aussagenbestimmende Funktoren“ (z. B. „nicht“, „oder“ ...)

</p><p>(3) „funktorenbestimmende Funktoren“ (z. B. „sehr“ in „das Kind ist sehr schön“ (das Argument ist hier „schön“)).<sup id="cite_ref-Bochenski_1993_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Bochenski_1993-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einteilung_nach_der_syntaktischen_Kategorie_des_entstehenden_Ausdrucks">Einteilung nach der syntaktischen Kategorie des entstehenden Ausdrucks</h3></div>

<p>Nach der syntaktischen Kategorie des molekularen Ausdrucks, der aus dem Funktor und seinen Argumenten besteht, werden Funktoren eingeteilt in:

</p><p>(1) Namenerzeugende Funktoren (Bsp.: „ein schlechtes“ in „ein schlechtes Beispiel“);

</p><p>(2) aussagenerzeugende Funktoren (Bsp.: "er läuft oder steht" ist wiederum eine Aussage);

</p><p>(3) Funktorenerzeugende Funktoren (Bsp.: „schrill“ in „die Klingel läutet schrill“, hier ist „schrill“ mit seinem Argument „läutet“ wieder ein Funktor).<sup id="cite_ref-Bochenski_1993_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-Bochenski_1993-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einteilung_nach_der_Anzahl_der_Argumente">Einteilung nach der Anzahl der Argumente</h3></div>

<p>Nach der Anzahl ihrer Argumente können die Funktoren eingeteilt werden in:

</p><p>(1) einstellige (monadische) Funktoren („gähnt“);

</p><p>(2) zweistellige (dyadische) Funktoren („bestiehlt“);

</p><p>(3) dreistellige (triadische) Funktoren („.. schenkt .. das Buch ..“);

</p><p>(4) n-stellige Funktoren.<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Rudolf Carnap: <i>Logische Syntax der Sprache</i>. Wien 1934. 2. Aufl. Wien/New York 1968.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Rudolf Carnap: <i>Introduction to Symbolic Logic with Applications</i>. Dover 1958.</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Hügli/Lübcke, <i>Philosophielexikon</i> (1991)/Funktionsausdruck/Funktor</span>

</li>

<li id="cite_note-Bochenski_1993-4"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Bochenski_1993_4-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Bochenski_1993_4-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 53</span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Bochenski, Die zeitgenössischen Denkmethoden, 10. Aufl. (1993), S. 53 f.</span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<li><a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion (Mathematik)</a></li>

<li><a href="Kennzeichnung_(Logik)" title="Kennzeichnung (Logik)">Kennzeichnung (Logik)</a></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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